SOAL PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN KUADRAT KUADRAT

 NAMA : CHAMELIA CHANSA

KELAS : X IPS 3

ABSEN : 07

CONTOH SOAL :

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x2 - 4x + 3
y = x - 3

Penyelesaian

y = x2 - 4x + 3
y = x - 3
Substitusi y = x2 - 4x + 3 ke y = x - 3 maka
x2 - 4x + 3 = x - 3
x2 - 4x + 3 - x + 3 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
(x - 3)(x - 2) = 0
x - 3 = 0 atau x - 2 = 0
x = 3                   x = 2
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y = x - 3
x = 3 --> y = 3 - 3 = 0
x = 2 --> y = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0), (2, -1)}

Contoh 2
Diketahui sistem persamaan
y = x2 + px - 3
y = x - 4
Tentukan nilai p agar sistem persamaan di atas hanya mempunya satu penyelesaian saja!

Penyelesaian
y = x2 + px - 3
y = x - 4
Substitusi y = x2 + px - 3 ke y = x - 4 maka,
x2 + px - 3 = x - 4
x2 + px - 3 - x + 4 = 0
x2 + px - x + 1 = 0
x2 + (p - 1)x + 1 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas adalah nol (D = 0) maka,
(p - 1)2 - 4(1)(1) = 0
p2 - 2p + 1 - 4 = 0
p2 - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p + 1 = 0 atau p - 3 = 0
p = -1                  p = 3
Jadi, nilai p agar sistem persamaannya memiliki satu penyelesaian adalah p = -1 atau p = 3

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2

Penyelesaian
y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2
Substitusi persamaan kuadrat y = x2 + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x2 maka,
x2 + 4x - 7 = 9 - x2
x2 + 4x - 7 - 9 + x2 = 0
2x2 + 4x -16 = 0
x2 + 2x - 8 = 0                               (kedua ruas dibagi 2)
(x + 4)(x - 2) = 0
x + 4 = 0 atau x - 2 = 0
x = -4                   x = 2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x2
x = -4 --> y = 9 - (-4)2 = 9 - 16 = -7
x = 2 --> y = 9 - 22 = 9 - 4 = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -7), (2, 5)}

Contoh 4
Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax2 + 2x - 7 dan y = 3x2 - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian
y = ax2 + 2x - 7
y = 3x2 - 4x + 8
Substitusi y = ax2 + 2x - 7 ke y = 3x2 - 4x + 8 maka,
ax2 + 2x - 7 = 3x2 - 4x + 8
ax2 + 2x - 7 - 3x2 + 4x - 8 = 0
ax2 - 3x2 + 6x - 15 = 0
(a - 3)x2 + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
62 - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5

Contoh Soal 5:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.